钉子板上的多边形

常州武进区横山桥中心小学 蔡晓娟

教学目标：

1.经历画图、填表、分析数据、探索规律的过程，发现皮克公式。

2.初步感悟通过固定某些变量的值来探求其余变量的变化规律的科学思维方法。

3.获取由简单到复杂的探究问题的方法和经验。

4.能类比迁移探求问题的方法，尝试拓展研究同类新问题。

教学重点：

发现、得出多边形的面积与边上钉子数和多边形中间钉子数之间的规律

教学难点：

类比推导出一般规律

教学准备：

实验记录单，多媒体课件

教学过程：

课前铺垫：数格子算面积

一、激趣导入，引发猜想

1、师：这是生活中常见的钉子板，如果把钉子板抽象成点子图，如图所示，从钉子板上知道哪些信息？

   师：根据同学们所说，相邻两枚钉子之间的距离是1厘米，那么这一个方格的面积是1平方厘米。

2、师：请你计算这4个多边形的面积，（板书多边形面积）（到第3个图形问你是怎样算的。）

   根据学生回答板书数据

   师：是的，遇到规则图形或者组合图形，我们可以用公式法或者数格子来计算面积。

3、师：现在钉子板上画了一个这样的图形，你还能用公式法或数格子的方法快速计算它的面积吗？

4、师：钉子板上多边形的面积可能会与什么有关？今天我们一起研究钉子板上的多边形（板书课题）

二、独立思考，由简探索

1、师：继续观察这4个多边形，猜想钉子板上多边形的面积可能与什么有关？（板书边上钉子数）

2、师：一起数一数这4个多边形边上的钉子数（一边数，一边板书）

       相互说说你发现了什么？谁再来说说看

      多边形的面积=边上钉子数除以2

   师：如果用S表示多边形面积，n表示边上钉子数，根据刚才同学所说，可以简化为S=n÷2

3、师：S=n÷2这条规律是否适用于所有多边形面积的计算呢？（不一定）

   师：这只是我们提出的一种猜想（板书“提出猜想”），既然是猜想，你们觉得下面我们该怎么办？（板书“实验验证”）

（一）实验活动一

1、师：进行第一项实验，请看实验活动要求，听实验要求。

       按要求完成

      收集几张符合的，几张不符合？

2、师：有符合的，也有不符合的。 让我们聚焦这些符合的图形，他们都有什么共同的特征？（里面都有1枚钉子）

       看看这些不符合的图形，和前面的图形相比，它们有什么不一样的地方

3、师：这里面的钉子称为形内钉子，（板书形内钉子数）看来钉子板上多边形的面积不仅跟边上钉子数有关，还跟形内钉子数有关。结合刚才所学，谁能够把规律完整的说一遍

用a表示形内钉子数，这条规律可以简化为当a=1时，S=n÷2

4、师：回顾刚才的过程，我们是怎样发现规律的？

   学生回答

   师小结：我们通过观察后提出猜想，进而实验验证，最后得出结论。在实验验证时用了哪些方法？

（二）实验活动二

1、 师：形内钉子数是1枚的规律找到了，大家接下来想研究什么？（形内钉子数是2枚）

师：你打算怎样做这个实验？学生阐述

师：我们进入第二个实验活动，实验问题“形内钉子数是2枚，多边形面积与边上钉子数的关系”。听实验要求 

   请大家按要求完成

   教师收集资源，呈现

2、师：请组长汇报你们的实验成果

   师：有没有和他们不一样的实验结论

3、师：看来这条规律是正确的。

（三） 实验活动三

1、师：比较这两个规律，你有什么发现

   师：这只是你们的猜想，想要验证这个猜想你们打算做什么实验？

（形内钉子数为3枚，4枚）

       请看实验活动三，请大家以小组为单位开始实验

2、学生活动，教师收集资源

   师：请小组汇报你们的实验过程

      谁来汇报形内钉子数为4枚的情况

   师：像这样的情况还有多少，（画省略号）谁能用一个式子概括所有的情况

（S= n÷2+a-1 ）

       为什么你会得出这样的规律？一起把规律说一下

3、师:这个时候你会计算它的面积了吗？

   教师呈现形内钉子数为0枚的图形，师：这幅图和之前相比，有什么不一样？

   追问：形内钉子数为0枚的情况也符合这个规律吗？我们一起验证一下。

   师：看来这个规律对于形内钉子数为0枚的情况同样适用。

   师：今天所研究的规律是奥地利数学家乔治-匹克发现的皮克定理，它被誉为有史以

来最重要的100个定理之一。

三、总结

师：这节课我们用数学实验的方式学习了钉子板上的多边形，你学到了什么？

   通过大家的总结，我们先提出猜想，钉子板上多边形的面积可能与边上钉子数有关，通过实验活动一，了解到钉子板上多边形面积不仅与边上钉子数有关，还与形内钉子数有关。当形内钉子数为1枚，多边形面积=边上钉子数除以2，接下通过实验活动2探究形内钉子数是2枚的情况，随后实验活动3，小组自行研究形内钉子数为3,4枚的情况，最后得出我们今天的规律。以后我们遇到问题，也可以从简单想起，提出猜想，实验验证，进而帮助我们得出结论。