钉子板上的多边形

教学内容:P108-109

教学目标:使学生在操作,观察,猜测活动中,发现在钉子板围出的多边形与他边所经过的钉子数,以及内部钉子数的关系,会用含有字母的式子表示发现的规律

教学重难点:会用字母表示多边形与钉子数之间的关系

课前准备:课件,小黑板,练习卷

教学过程:

一、回顾旧知，引入课题

1、  本学期我们学会求3种图形的面积，分别是平行四边形，三角形，梯形，一起把他们的面积公式说一说。

2、  并且还学会了利用切割或者拼补的办法将不规则的图形转化成规则的图形，进而求出不规则图形的面积

3、  出示钉子板

1)      这是一个钉子板，如果在其中的几枚钉子之间通过连线便形成了这4个多边形，我将这4个图形进行编号，1号图形，2号图形，3号图形，4号图形。假设相邻两个钉子之间的距离是1厘米，请小组四人分别求出这4个图形的面积，算出来后相互说说你是怎样求出它们的面积的。

2)      谁来汇报每个图形的面积，并说明你是如何计算的

3)      同学们说的很详细，基本上是利用公式求出来的。1,2,4是规则图形，我们可以利用公式很快求出来，可是像3号这种不规则的图形，我们还要把他转化成规则图形，然后才能求出它的面积。这个过程大家感觉如何？这个过程似乎有些繁琐，那大家思考一下，能否不利用公式，用同一种方法直接求出这四个图形的面积。这四个图形的面积越来越大，代表这四个图形在钉子板上占据的面也越来越大，大家猜想一下这些图形的面积还会与什么有关？

4)      为什么你会觉得与多边形边上的钉子数有关？你的发现真的了不起！确实多边形边上的钉子数越多，多边形的面积越大，今天我们就来探索钉子板上的多边形的规律。

二、新课探究

1、（1）既然明确与多边形边上的钉子数有关,请同学们分别数数每个多边形边上各有多少枚钉子?交流每个多边形边上的钉子数目。

（2）、仔细观察，从中你发现了什么？（原来这些多边形的面积就是他们边上钉子数的一半）

（3）、可是我这里也有一个多边形，请问此时这个多边形的面积和边上的钉子数各是多少？面积=1，钉子的个数有4个，为什么这个正方形的面积不是边上钉子数的一半呢？

也就是说前面我们还遗漏什么重要的条件，这四个多边形，是否还有什么共同特征我们没有发现。（提示：刚才我们研究的是多边形边上的钉子数，那多边形内部的钉子数呢）

所以要符合这一规律，还得增加一个什么前提条件。因此，当多边形内只有一枚钉子时，多边形的面积=边上钉子数的一半。

（4）       知道了这个规律，我想请同桌两人共同完成一项任务，画一个内部有一枚钉子的多边形，画出来后，左边的同学利用公式计算，右边的同学则运用刚才所得出的规律算出面积。看看两位同学得出的结果是不是一样。

哪一组同桌来向大家说说你画的多边形边上的钉子数是几枚，左边的同学你算出来多少，右边的同学呢？哪一组再来尝试一下

（5）       由此我们更加可以确定，当多边形内部有一枚钉子时，多边形的面积=边上的钉子数÷2

（6）       如果用n表示边上的钉子数，用S表示多边形的面积，你们能尝试写出它的字母表达式吗？谁来说一下：S=n÷2，还要增加什么前提条件。我们一起把我们共同得出的结论说一说。

2（1）既然大家这么聪明，不如我们提高点要求，此时多边形里有2枚钉子，多边形的面积与它边上的钉子数又有什么关系呢？

（2）请小组合作，现在钉子板上画出内部有2枚钉子的多边形，再完成这张表格，表格填写完成后，相互说说你发现了什么

     小结：当多边形内部有2枚钉子时，多边形的面积=边上的钉子数÷2

     谁能尝试用字母表达式表示这个规律，我们一起说一说S= n÷2+1

3（1）通过刚才的学习我们了解到，如果多边形内有一枚钉子，多边形的面积=边上钉子数÷2

      而当多边形内有2枚钉子时，多边形的面积=边上钉子数÷2+1

 （2）可是如果多边形内部的钉子数变成3枚，4枚，5枚等等，此时多边形的面积与边上钉子数的关系又将发生如何改变呢，同桌两人相互讨论，必要时可以自己画一个内部有3枚或者4枚钉子……的多边形进行验证。

 （3）谁来说说当多边形内部有3枚钉子时，多边形面积的变化情况，而当多边形内部有4枚钉子呢？5枚呢？由此你们发现了什么呢？

 （4）多边形的面积=边上的钉子数÷2+多边形内部的钉子数-1

 （5）假设多边形内有a枚钉子时，字母表达式可以怎样表示，一起说一说我们共同努力得出的规律。

 （6）如果多边形内部没有钉子呢？多边形的面积该怎么表示呢？为什么是把边上的钉子数÷2-1

三、全课总结

  这就是我们所要研究的钉子板上多边形的规律，我们发现得很不容易，探索得也很不轻松，大家觉得要想发现其中的规律，需要注意什么？（想想我们是如何想到不光要考虑到边上的钉子数，同时还要考虑到内部的钉子数）因此我们要善于发现其中的共同点，并且即使我们得出了规律，也不能急于下结论，还必须通过不断地实践，才能验证我们的猜想。