“变与不变”——基于“变异理论”的小学数学简便计算教学实践

摘要：通过介绍“变异理论”的内涵价值，分析变异教学的四种模式，具体阐述“分离”思想、“类合”思想、“对比”思想、“融合”思想在小学数学简便计算教学中的实践，探讨其中的“变与不变”。以此突出“变异”“变式”殊途同归，通过“变异理论”促进“一题多解”。

关键字：变异理论；简便计算教学；小学数学

“变异理论”是由瑞典著名教育家马飞龙（Marton,F.）基于“现象图析学”而创立的[1]。该理论在中国已进行了20多年的教学实践探索，目前已涉及数学、科学、语文、英语、物理、化学、体育等学科的教学，不仅对小学的教材适用，对初中甚至大学的教学内容也同样适用。

一、“变异理论”概述

首先对“变异理论”进行简单的概述。

（一）“变异理论”的内涵价值

“变异理论”，从名称上看“变异”是最为核心的部分，为此马飞龙指出：任何事物的意义皆来源于差异。没有差异，就根本不会有意义[2]。因此该理论主要是以发展审辨事物关键属性的能力为基本教学目标。

那么审辨的意义在于让个体经历变异，随着接触事物的不断扩展变化，在头脑中打开一个又一个新的变异维度，从而促使个体认识到该事物的关键属性[3]。例如“盲人摸象”，当每个人摸的维度不同，对于该事物的认识也会有所不同。有人摸大象的腿，他们会以为摸到的是柱子；有人摸大象的身体，会以为摸到的是墙……随着摸的维度逐渐增多，个体对于大象的关键属性才会在大脑中逐步体现出来。

由此可见，“变异理论”主要体现出的是审辨“变与不变”的过程。那么“变”的是什么呢？首先事物本身就具备差异的属性，那么尽可能创设变化的背景属性，以此让学习者进行审辨，从而认识到事物的关键属性（不变），最终达到学习的目的。

（二）变异模式的要素分析

在教学过程中，要系统的运用变异模式，促使理论与实践的结合。在变异模式上，马飞龙与他的同事们总结出四种模式，分别是：分离、类合、对比和融合[4]。

“分离”指的是要识别出某一变异维度，就需要使该维度发生变化，但是其他维度保持不变。顾名思义，就是巧妙在“不变”中分离出“变”来。

“类合”就是如果要识别出某一变异维度，需要在其他维度变化时保持这变异维度不变。也就是说，在多种变化中保持某个维度不变，使学习者对不变维度加以关注和概括，即在“多变”中保持“不变”。

“对比”是指要识别某个量或特征X，需要同时感受与其相对的它种量或特征。”也就是说，通过对一个事物与另一个（或多个）事物的对比，被比对的事物之间只在某个维度上具有明显的不同特征，其他维度上的特征基本保持不变，从而使学习者发现其不同的特征而认识某个特征。即在“变”中审辨出“不变”。

“融合”则需要让学生理解两个变异维度同时变化，需要学生历经它们同时变化的过程。它反映了几个变化之间是有关系的，可以将这几个变化综合为一个整体进行审辨，以实现对于关键属性的学习。即将“多变”整合为“不变”[5][6]。

二、“变异理论”在简便计算教学中的实践

根据四种变异模式反映出的教学理念，本文尝试阐释四种变异模式在小学数学简便计算教学的具体实践。

（一）“分离”思想：在“不变”中分离出“变”

“分离”思想与数学上的“一题多解”有着异曲同工之妙，就是从一道题中从不同维度进行分析思考，在“不变”中分离出“变”来，从而寻得多样的解题技巧。

例1：如果计算器上“9”键坏了，你打算怎样计算99×324？这道题的巧妙之处在于如果只是“99×324”，或许大部分同学会选择将“99”转变为“100-1”，运用乘法分配律进行简便计算。但是问题情境却是计算器上‘9’键坏了”，那么题目所体现出的关键属性就转变成不通过按“9”键，成功的将“99×324”计算出来。

表1：例1的变异图式

根据表1所示，该题中变化的属性在于问题情境的改变，当然如果学生运用“（100-1）×324”的方法计算是没有问题的。然而因为问题情境的改变，会将该问题的解题思路拓展得更广，既然本题的重点集中在“9”上面，所以该题的解题方向就不仅仅局限于“利用乘法分配律进行简便计算”，学生可以写出“33×3×324”“（44+55）×324”等等。

但是在教学中也发现，个别孩子采用笔算的方式计算“99×324”，这类孩子是将关注点集中在“计算器”上，既然“9”键坏了，可能这类孩子的潜意识里会觉得：计算器已经无用武之地。这道题是四年级的题目，对于小学中高年级的孩子来说，笔算的方法可能更方便，也更容易想到。那么针对这道题，笔算也确实可以成为一种正确的解题思路。

（二）“类合”思想：在“多变”中保持“不变”

    数学的简便计算教学中不仅有顺向思维，也有逆向思维。“类合”思想其实就是“分离”思想的逆向思考过程。简便计算教学的“多变”主要体现在数据的改变，然而其准确计算的关键属性始终是不变的。

例2：判断哪些可以简便计算：①1.78×101-78；②2.99×23+23；③3.54×102-54×44；④4.63×7+34×32。

从这四道题可以看出，数据各不相同，但是哪些可以简便计算，哪些不可以，需要学生通过对“多变”的数据找到其中“不变”的特征，然而就是这些“不变”的特征导致可以简便计算。

表2：例2的变异图式

四道题最大的不同就是数据的改变，但是无论数据如何变化，能够简便计算的算式一定存在着相同的特征。首先算式里两个相同的数据，比如第1、2、3道题算式里都会有两个相同的数字；其次是存在可以凑整的数，那么第3题就不符合要求。因为“102-44=58”，无法凑到整百或者整十。数据即使千变万化，但是可以简便计算的算式中，数据必定存在着共同的特征，这就是“多变”中保持“不变”的属性。

（三）“对比”思想：在“变”中审辨出“不变”

“对比”与“分离”的思想有些类似，都是对某一属性变异的审辨。但是“对比”的英语为“contrast”，该单词有“对立”之意。意味着需要将两个对立的变异属性通过相对比，审辨出不变的属性。

例3:简便计算8×32+32×92。如果想要简便计算，就是运用乘法分配律。可这道题在三年级教材中就出现了，但是学生直到四年级下册才开始学习乘法分配律。在没有学习相关知识的前提下，学生该如何简便计算呢？

表3：例3的变异图式

如表3所示，在计算方法的选择上，学过运算律的孩子可以运用乘法分配律将式子转化为“78×（101-1）=78×100”，出现“凑整”，进而达到简便计算的目的。对于没有学过运算律的孩子，可以结合乘法的意义帮助孩子理解，于是第一道题可以理解为“101个78减1个78得到100个78”。

但无论是运算律还是乘法的意义，两种方法所体现出的解题思路其实是一样的，都是想办法“凑到100”。二者只是在呈现的方式上有所区别，乘法的意义是用语言表述的形式，运算律则是用字母表达的方式。换句话说运算律其实就是对乘法意义以用字母表示的方式表示出来，这种表示方式比较简单且具有概括性。

（四）“融合”思想：将“多变”整合为“不变”

“融合”思想往往用于多变量问题的解决，将多个目标属性整体考虑，可以降低由多变量之间的相互干扰而引起的审辨不清的问题[7]。小学数学教材中有一种策略叫“转化”,而“转化”策略的运用几乎贯穿了小学各个阶段的数学学习，可以说“转化”是一个非常有用的策略，原因在于“转化”的作用就是将新知转化成旧知，通过转化，将很多看似毫无关联的知识点串联在一起，从而达到“融合”的效果。

例4：简便计算：①1+3+5+……+19； ②2+4+6……+20 ；③1+2+3+4+……+20。

表4：例4的变异图式

如表4所示，这三道题目不管是连续奇数相加，还是连续偶数相加，又或者是连续自然数相加，都能发现都是“连续的数”相加。既然都是连续的数相加，那么其中必定存在同一种计算模式。而这种计算模式就是高斯在小学阶段计算1+2+3+……+100所运用的计算模式：将首尾两数的和×个数÷2。

在高中阶段，这种计算模式叫“等差数列求和公式”。根据皮亚杰的认知发展理论，小学阶段的学生基本上处于具体运算阶段。小学中高年级的孩子能够进行相关计算的练习，而且能够按题意自行运算，主要就是他们图式的功能已经达到合理思维的地步，但这种能力仅限于他们熟悉的情境和已有的经验[8]。根据孩子已有的知识经验，可以将以上三个算式用图形的方式表示出来。

图1：算式转化成图形示意图

如图1所示，三个算式的数据用圆圈代替，像图中那样层层叠加，都会形成梯形，梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2，图中最上层的数也就是算式中的第一个数就是上底；最下层的数（碍于数据比较大，图中并未标出）就是算式中最后的一个数，也就是梯形的下底；算式中数字的个数就如同图形中的层数，便也是梯形的高，可以让学生将所有数说一遍，便清楚了数字的个数。于是以上三个算式的计算模式就与梯形面积的计算方法如出一辙，达到了触类旁通、融会贯通的效果。

三、对于“变异理论”的一些认识

变异理论虽创立于瑞典，但其理论的内涵与中国的“变式理论”“一题多解”等教学方法及理念都有其共通之处。

（一）“变异”“变式”殊途同归

在进行简便计算的过程中，第一步就是要进行“变式”，所谓“变式”是指知识教学中变换非本质特征，突出本质特征[9]。那么简便计算的前提是算式的数据或者算式模式是有特点的，而这些特点是可以通过改变，以达到简算的目的，而改变的依据就是运算律。如此看来这些有特点的数据便是其本质特征，所以在进行简便计算时的第一步就是原本的算式进行变式，改变非本质属性，以突出本质属性。

而变异理论需要教学者为了达到教学目标，必须审辨学习对象的哪些特定属性，澄清关键属性[10]。就好比简便计算教学中，需要教学者将学习内容与学生的学经验紧密结合，并相互衔接。同一道计算题随着孩子年级的不同，知识经验的不同，讲授的方法、采用的策略也是截然不同。无论采用何种策略教学，无疑都是建立学生经验基础之上，也是借助同样的解题思路，帮助孩子更好的理解。

“天下同归而殊途”，方法理论不同，但是目标和结果却是一致。“变异理论”与“变式理论”就“突出关键属性”的内涵上无疑是一致的，皆是一切的“变”就是为了突出“不变”。

（二）“变异”促进“一题多解”

   “一题多解”反映了学生解题技巧的多样，思维的多变，各种知识的融会贯通，是学生深刻掌握知识，灵活解决问题的一种体现，数学解法的多样性是培养学生数学思维能力的关键因素之一[11]。

算式可以进行简便计算在一定程度就是“一题多解”的反映，说明这道计算题除了可以按照运算顺序计算，也可以通过巧妙的“变”，审辨出其中的“不变”，以达到简便计算的效果。

“变异理论”是基于学习者的认知本质和规律所创设的，对于学习本质的聚焦可以有效拓展教学理论的深度与实践的广度[12]，可以帮助教学者更加全面、细致、精准的讲解教学内容，有效提升学生的数学思维，促进“一题多解”。

然而，无论何种教学理论，都需要教学者理性对待，合理运用，有效的将理论结合实践。在具体实践过程中，教学者需要将琐碎的知识方法整理归纳，形成对课堂的强大穿透力、理解力、洞察力。帮助教学者改变和提升对教材的解读，科学合理的设计教学内容，实施和及时反思教学内容，以教学者的“变”促进“学习者能力的提升”这一不变的关键属性。

参考文献：

[1]陈红兵.变异理论教学研究在中国[J].河北师范大学学报/教育科学版，2021（4）：119.

[2]祝钱.基于“变异理论”的初中化学解题教学实践——以实验探究题为例[J].化学教学，2020（4）:81.

[3]符一平.数学竞赛对学生数学思维能力的培养作用分析［J］.湖北开放职业学院学报，2020（5）：119-120.

[4]Marton，F.，Necessary Conditions of Learning［M］．Routledge，Taylor& Francis: New York and London，2015：48.

[5]陈红兵.创设有效的学习空间——变异理论视野下的课堂教学［J］.教育学报，2013（5）: 53－60.

[6]陈红兵.变式理论与变异理论——两个教学理论的比较与关系探析［J］.教育科学研究，2013( 8) : 22～26.

[7]植佩敏,F.马飞龙.如何促进学生学习——变易理论与中国式教学［J］.人民教育，2009（8）：33-37.

[8]田军.化学教学中应用皮亚杰认知发展理论的研究[D].苏州：苏州大学，2007:7.

[9]Marton，F., Runesson U & Tsui A.B.M., The space of learning. In F. Marton and A.B.M. Tusi, Eds., Classroom discourse and the space of learning[M].Lawrence Erlbaum: New Jersey,2004.

[10]Marton,F. & Pang, M.F., On some necessary conditions of learning[J]. The Journal of The Learning Sciences, 2006（2）：193-220.

[11]F.Marton，S.Booth，Learning and Awareness［M］.Mahwah，New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates Publishers，1997.

[12]卢仲衡，茅于燕，应玉叶，马为，张梅玲.教学改革中促进学生掌握数学知识的一些心理因素[J].心理学报，1961（3）.

[1] F.Marton，S.Booth，Learning and Awareness［M］.Mahwah，New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates Publishers，1997.

[2] Marton，F.，Necessary Conditions of Learning［M］．Routledge，Taylor& Francis: New York and London，2015：48.

[3] 陈红兵.变异理论教学研究在中国[J].河北师范大学学报/教育科学版，2021（4）：119.

[4] Marton，F., Runesson U & Tsui A.B.M., The space of learning. In F. Marton and A.B.M. Tusi, Eds., Classroom discourse and the space of learning[M].Lawrence Erlbaum: New Jersey,2004.

[5] Marton,F. & Pang, M.F., On some necessary conditions of learning[J]. The Journal of The Learning Sciences, 2006（2）：193-220.

[6] 植佩敏,F.马飞龙.如何促进学生学习——变易理论与中国式教学［J］.人民教育，2009（8）：33-37.

[7] 祝钱.基于“变异理论”的初中化学解题教学实践——以实验探究题为例[J].化学教学，2020（4）：81.

[8] 田军.化学教学中应用皮亚杰认知发展理论的研究[D].苏州：苏州大学，2007:7.

[9] 卢仲衡，茅于燕，应玉叶，马为，张梅玲.教学改革中促进学生掌握数学知识的一些心理因素[J].心理学报，1961（3）.

[10] 陈红兵.创设有效的学习空间——变异理论视野下的课堂教学［J］.教育学报，2013（5）: 53-60.

[11] 符一平.数学竞赛对学生数学思维能力的培养作用分析［J］.湖北开放职业学院学报，2020（5）：119-120.

[12] 陈红兵.变式理论与变异理论——两个教学理论的比较与关系探析［J］.教育科学研究，2013( 8) : 22～26.