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经历数学活动，积累基本数学活动经验
小学图形与几何领域积累数学基本活动经验的实践与思考
——以《圆的认识》为例
太仓市沙溪三小 段孝宇
《数学课程标准》特别指出：数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志，帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标。数学活动经验需要在做的过程中和思考的过程中积淀，是在数学学习活动中逐步积累的。杜威先生有一句尽人皆知的名言：一盎司的经验胜过一吨理论。这一方面说明经验的重要性，另一方面也启示我们不妨先抛开理论，从数学教学实践的角度来探讨数学基本活动经验的问题。
课前思考
数学基本活动经验自然来源于数学活动，经历什么样的数学活动，决定了可以积累什么样的活动经验。《圆的认识》是小学高年级“图形与几何”部分中的重要内容，在这一内容的学习过程中，学生通常会经历以下几个主要环节：直观感知圆——学会用圆规画圆——探究圆的特征——解决与圆有关的实际问题。通过研读教材，笔者认为，本节课的“新” 就在于出现了不同于以往的平面图形“圆”。那么，学生学习“圆”的原经验是什么？ 通过本课学习需要积累什么样的“新经验”？怎样形成“新经验”？这些都是“基本活动经验”视野下开展教学活动需要解决的问题。下面我就从这几个环节的教学实践入手，分析“图形与几何”学习过程中的数学活动及其基本经验。
实践感悟
一、观察、想象、操作，丰富直观表象经验
【教学环节一】直观感知圆
课始，交流课前小研究：
1.自学课本第93——94页，重要的概念划一划、圈一圈，有不明白的地方记一记。
2.试着用圆规在纸上画个圆，想一想用圆规画圆要注意什么？你还会用其他的方法画圆吗？试一试。
师：同学们现在小组内交流自己的所得。（学生小组内交流）
师：现在哪个小组来交流？（杨雨洁小组发言）
生1：我发现了圆有圆心，半径、直径，可以用圆形物体和圆规画圆。
生2：我发现半径和直径都有无数条。
生3：我还知道什么是圆心、什么是半径、什么是直径。（生照着书把定义读了一遍）
其它小组补充：
生4：我还发现了其它画圆的方法，例如工地上工人利用木桩和绳子画圆。
……
师：看来，我们对圆已经有了初步的认识，接下来就让我们走进圆的世界，共同探索圆的奥秘。
上述教学过程，学生经历了三个层次的活动。第一层次，学生通过预习、阅读教材后，能够辨认常见物体上的圆，激活头脑中关于圆的已有认识，并通过回忆、想象、再认建立圆的初步表象；第二层次，通过画圆，借助动手操作活动继续感知圆；第三层次，学生能够考虑到圆的构成基本要素，圆心、半径、直径，并能根据原有的知识经验，知道圆有无数条对称轴，这些都是探究圆的特征必不可少的要素之一。不难看出，贯穿观察、想象、操作这一系列活动的主线，就是不断丰富学生对图形的直观表象经验。事实上，学生所经历的这一系列活动，并不是认识圆时所特有，在认识其他平面图形时所经历的活动大体与之相似，甚至在建构有关图形的概念时也离不开这些活动。例如，三角形、平行四边形、梯形的“高”的概念，可以借助教材中的描述性定义来实现，但如果学生在观察和作图的过程中认识高，能够更清晰地建立“高”的各种表象，形成一个动态的、可操作的“高”，积累起画“高”的经验。
布鲁纳认为，动作——表象——符号是儿童认知发展的程序，也是学习过程的认知序列。这里的动作涵盖了观察、操作，也包括以表象为基础的想象，其实质是获得对所认识对象的直观感受，从而丰富对所认识对象的直观表象经验，为进一步认识图形奠定基础。这一过程对小学“图形与几何”的学习来说尤为重要，因为小学生学习的几何知识是经验的几何，而不是严格的以逻辑推理为公理化的
体系。这一过程对学生进一步学习数学知识也是重要的，因为“数学知识的形成依赖于直观，数学知识的确立依赖于推理，也就是说，在大多数情况下，数学的结果是‘看’出来的而不是‘证’出来的”。“看出来”离不开丰富的直观表象经验。
二、尝试、概括、归纳，积累数学思考经验
【教学环节二】学会用圆规画圆
1.圆规画圆。
(1)试着在白纸上画一个圆，交流圆规画圆时要注意什么？如果有不圆的作品，猜猜是什么原因造成的？
(2)小结：画圆三要素，定点、定长、旋转一周。
(3)还有别的画法吗？
2.钉绳画圆。
师示范画。
3.比较：用圆规画圆和用钉绳画圆，画法上有什么相同的地方？
指出：都是利用画圆的三要素进行的。
用圆规画圆是一个基本的作图技能，形成这一技能时所经历的不同活动过程，必然会形成不同的数学活动经验。因为课前已经和学生一起认识过了圆规，并让让学生自己尝试用圆规画圆，所以课上直接交流用圆规画圆的方法。这样做，一是根据学生已有的关于圆和圆规的认识，尝试是有基础的；二是尝试和动手做对学生来说都是感兴趣的活动，拿起圆规学生有画圆的冲动。然而更重要的却是，自主尝试为投入的思考奠定了基础，所以教师提出的要求，不仅在于“你能试着用圆规画出一个圆吗”，还在于“边画边想，圆规画圆一般分哪几个步骤？需要注意些什么”，这就是说不仅要动手尝试，还要思考提炼出画圆的方法。这画圆的方法，固然是方法性、策略性的经验，但提炼的过程以及怎么提炼，同样也是重要的数学活动经验。于是，在尝试后，学生需要进一步概括自己的画法，并和同伴进行交流。面对尝试后可能出现的各种情况，还需进行归纳，并进一步通过练习巩固掌握的画法。由此可见，尝试是活动的基础，进行有效的数学思考才是这一环节的核心。结合已经掌握的、并融入丰富经验的画法认识圆心、半径、直径等概念是数学思考的进一步延续。
学生不仅学会画圆，而且通过圆规画圆和钉绳画圆方法的聚类分析，从中感悟画圆原理，逐步形成由表及里发现本质的数学眼光。
但是，课堂实践中，我没有很好的把学生零碎的说转化成完整的说；由于课比较赶，学生数学化的经验以及归纳的经验也没有得到进一步的提升，这也为我以后的教学敲醒警钟。
三、猜想、验证、反思，积累探究发现经验
【教学环节三】探究圆的特征
1.定点指得是圆的什么？（圆心） 定长指得是圆的什么？（半径）
2.圆心和半径的特征：
介绍半径的含义：连接圆心到圆上任意一点的距离就是圆的半径。
师：半径有多少条？
生：无数条？
师：真的有无数条吗？你能验证吗？
生：圆周是由无数个点围成的，圆心和任意一个点都可以连线成为一条半径。
师：是的，圆有无数条半径。
师：在点子图中画一个圆，比较同学们点子图中画的圆，你有什么发现？
（1） 圆的位置不同。（圆心决定圆的位置）
（2） 圆的大小不同。（半径决定圆的大小）
3.直径的含义及特征
（1） 将半径延长之后，交于圆周上一点，这条线段你认识吗？（直径）
指出：通过圆心，连接圆上两点间的线段就是圆的直径。
（2） 直径和半径有什么关系？（d=2r）
直径有多少条？（无数条）
（3） 画一画想一想：
①画一条不通过圆心，两端都在圆上的线段。（和直径比有什么发现？）
②不通过圆心，两端在圆上，并且和直径一样长。（引出认知冲突，发现直径是圆中最长的线段。）
（4）强对比
是圆吗？（深入感知远的本质特征。）
得出：圆“一中同长也”。
猜想是探究的开始。但猜想并不是凭空臆想，提出猜想的前提必然是通过观 察、操作，乃至初步的推理，获得关于研究对象的初步结论。提出猜想之后，需要验证。验证中不仅能够进一步体验画、量、折等方法的合理运用，还需要体会运用不完全归纳推理获得结论的过程。由此获得的经验就不止于过程性的，还
具有方法和策略的意义。最后总结时，通过与椭圆的对比，突出了反思对于积累探究发现的经验所具有的重要意义。因为经验不仅是经历活动后作为结果的收获，更是在于经历活动过程中的体验，对于探究发现的经验来说过程中体验的成分可能还更多一些。探究发现是着眼于过程的，经验是在具体的数学活动过程中积累的，因而在数学活动中积累探究发现的经验，应该是数学课程的基本目标之一。图形的特征可以成为探究活动的对象，事实上，有关图形的测量、图形的运动、图形与位置中相关的问题也可以成为探究的对象，让学生经历猜想、实验、推理等活动积累探究发现的经验对于培养学生的创新精神和实践能力具有重要的价值。
小学数学中的“图形与几何”，可分为图形的认识、测量、图形的运动、图形与位置等四部分，上面的课例仅是图形的认识中的一个内容，对每一环节的分析也只是选择了特定的角度。事实上，学生在数学学习过程中所经历的活动是多样的，经历一个精心设计的数学活动，有助于活动经验的积累和丰富。以上对“图形与几何”中数学基本活动经验的分析仅是管中窥豹。使学生获得并积累数学基本活动经验，不仅是数学课程的重要目标，也是数学教学发展的标志。使学生获得并积累数学基本活动经验的关键是设计、组织好每一个数学活动，引导学生积极主动地参与数学活动，经历数学活动的全过程，体验数学活动的每一环节以获得不同活动阶段的经验内容，促进他们积极主动地从“经历”过程走向“经验”，这是我们落实数学活动经验目标的核心，也是我们研究和实施的重点和突破口。
心得体会：
数学教学最重要的是过程的教学，要让学生经历知识获得的整个过程，要给出充分的时间与空间让学生在数学学习活动中去经历过程，体验数学，感悟数学，积累数学活动经验。要让学生在“自主探究”过程中，积累数学活动经验数学教学中，培养思维能力是培养能力的核心，这就要求我们数学教师要加强开放式问题的教学，提倡探究式学习，强化合情推理的训练，为学生提供自由想象、自由发挥、自主探索的时间和空间，激发学生思考，使数学学习成为再发现、再创造的过程。 |
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